Yüzyıllardır Çözülemeyen Problem Çözülüyor mu?
Sadece kendisine ve 1’e bölünebilen bir doğal sayıya asal sayı denir.
Asal sayılar dizisi 2,3,5,7,11… diye başlar ve bu liste sonsuza kadar uzar.
Tanımı bu kadar açık olan asal sayılar dizisi birçok gizem barındırmaktadır.
Asal sayılarla ilgili çalışmalar yaklaşık 2300 yıl öncesine dayansa da bu konuda hâlâ cevaplanamamış sorular var. Asal sayıların dağılımına ilişkin problemler bu soruların kuramsal bakımdan en önemli öbeğini teşkil etmektedir. İki ardışık asal sayı arasındaki fark hayli değişken olduğu için bu sayılar birbirine yakın veya uzak olabilir. Aralarındaki fark 2 olan ardışık asal sayılara ikiz asallar denir. Örneğin 3-5, 17-19, 1031-1033 çiftleri. Asal sayılar dizisinde ilerledikçe ardışık asal sayıların arasındaki ortalama fark artar. Ama şimdiye dek elde edilmiş veriler ve kuramsal çıkarsamalar sayı doğrusunda ne kadar ileri gidilirse gidilsin ikiz asal sayılara rastlanabileceğini düşündürmektedir. 19. yüzyıldan beri bu sanıyı ispata giden yolu arayan pek çok çalışma yapılmıştır.
Prof. Daniel Goldston (San Jose State Üniversitesi), Prof. Janos Pintz (Alfred Renyi Matematik Enstitüsü) ve Boğaziçi Üniversitesinden Prof. Cem Yalçın Yıldırım’ın birlikte yaptığı bir dizi çalışmada, aralarındaki fark ortalamanın herhangi bir sabit (ne denli küçük olursa olsun) katından az olan ardışık asalların sonsuza dek uzandığı gösterildi. 2009 yılında An-nals of Mathematics dergisinde yayımlanan ve bu çok önemli gelişmeyi ortaya koyan makale ikiz asal sayılar problemine ışık tutan yeni bir yöntem içeriyordu.
Yitang Zhang (New Hampshire Üniversitesi) bu çalışmaya ve sayılar kuramının çeşitli derin sonuçlarına dayanarak, aralarındaki fark en fazla 70 milyon olan sonsuz miktarda ardışık asal olduğunu Nisan 2013’te kanıtladı. Kasım 2013’te James May-nard (Montreal Üniversitesi) yine Goldston, Pintz ve Yıldırım’ın yönteminden ve Sidney Graham’ın da (Central Michigan Üniversitesi) katıldığı çalışmadan yola çıkarak yazdığı çok daha sade ve kolay anlaşılır makalesinde bu üst sınırı 600 e indirdi ve üstelik kuramdaki anlayışı da ilerletti. Maynard’m makalesinin son kısmındaki optimizasyon problemiyle birçok matematikçinin uğraşması sonucu şu sıralarda üst sınır 270e indirilmiş durumda. İkiz asal sayılar dizisinin sonsuza dek uzandığı hâlâ ispatlanama-mışsa da günümüzde bu noktaya gelineceğini 10 yıl önce kimse tahmin edemezdi.
Prof. Yıldırım ve çalışma arkadaşları Prof. Goldston ve Prof. Pintz elde ettikleri önemli sonuçlar sayesinde 2014 Frank Nelson Cole Prize in Number The-ory Ödülüne lâyık görüldü. Aynı ödül Prof. Zhanga da verildi. American Mathematical Society tarafından üç yılda bir verilen ve matematiğin önemli ödüllerinden biri olan bu ödülün töreni 16 Ocak 2014’te yapıldı.
Asai Sayıların Uygulamalarını Merak Edenlere
Asal sayılar pür matematikteki merkezi konumlarının yanı sıra son 40 yıldır şifrelemede de kullanılır oldu. Bizler internet bankacılığını kullandığımızda ve internetten alışveriş yaptığımızda bilgisayarlar birbirleri ile şifreli haberleşiyor. Bu şifrelerde çok basamaklı iki asal sayının çarpımı kullanılıyor. Bu çarpım, bir anahtar görevi görüyor. Gizli kalması gereken bu çarpım değil de çarpanlar. Kullanılan asal sayılar büyüdükçe çarpımı çarpanlarına ayırmak, dolayısıyla şifreyi kırmak zorlaşıyor.
